已知a<b<c，求证：a^2b+b^2c+c^2a<ab^2+bc^2+ca^2

a^2b+b^2c+c^2a-(ab^2+bc^2+ca^2)
=a^2(b-c)+(c^2-b^2)a+b^2c-bc^2
=(c-b)(-a^2+(b+c)a-bc)
=-(c-b)(c-a)(b-a)<0
因此a^2b+b^2c+c^2a<ab^2+bc^2+ca^2

已知a<b<c，求证：a^2b+b^2c+c^2a<ab^2+bc^2+ca^2

(1)
a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2= (a^2-c^2)b+(b^2-a^2)c+(c^2-b^2)a
a<b<c ===> a^2-c^2<0, b^2-a^2>0, c^2-b^2>0

(a^2-c^2)b+(b^2-a^2)c+(c^2-b^2)a<0

(2)
a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-c)

b-c<0
c-a>0
a-c<0
从而a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-c)<0